\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{五六七}
\title{数量金融实验 - 专题1 -欧式期权的平价公式}
%\date{2025年9月9日}

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\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


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\setlength{\parskip}{1em}  % 增加段落之间的间距为1em

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\section{定理：欧式期权的平价公式}

\subsection{初始时刻$t=0$的公式}

定理1.3.2. 设在当前时刻的股票价格为 $S_0$, 无风险利率为 $r$. 设到期日为 $T$, 敲定价格为 $X$, 则欧式看涨期权 $C=c_0$ 和欧式看跌期权 $P=p_0$ 满足等式 
%\[ C + Xe^{-rT} = P + S_0. \] 
\[ S_0 - C = Xe^{-rT} - P. \] 

\subsection{任意时刻$t$的公式}

定理1.3.2. 设在时刻$t$的股票价格为 $S_t$, 无风险利率为 $r$. 设到期日为 $T$, 敲定价格为 $X$, 则欧式看涨期权 $c_t$ 和欧式看跌期权 $p_t$ 满足等式 
\[ S_t - c_t = Xe^{-r(T-t)} - p_t. \] 


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\section{证明：欧式期权的平价公式}

询问：请解释一下等式左右这两个投资组合的具体含义。


回答：我们来详细解释定理1.3.2中构造的两个投资组合 $\Phi_1$ 和 $\Phi_2$ 的具体经济含义。


在证明欧式期权平价公式时，构造的两个投资组合如下：
\[
\Phi_1 = S_t - c_t
\]
\[
\Phi_2 = X e^{-r(T-t)} - p_t
\]

注意：定理中写为 $t=0$ 时的组合，但更一般地应理解为在任意时刻 $t$（$0 \leq t \leq T$）构造，因此使用 $S_t, c_t, p_t$ 和贴现因子 $X e^{-r(T-t)}$ 更为准确。

\subsection{投资组合 $\Phi_1 = S_t - c_t$ 的含义}

这个组合表示：

持有一股标的股票（价值 $S_t$），同时卖出（写空）一份欧式看涨期权（获得权利金 $c_t$）。

{\color{red}
因此，$\Phi_1$ 是一个“备兑看涨期权组合”（Covered Call）的现值。
}

在到期日 $T$，该组合的价值为：
(1) 若 $S_T > X$：看涨期权被行权，你必须以价格 $X$ 卖出股票，收入 $X$，股票被拿走。组合价值为 $X$。
(2) 若 $S_T \leq X$：看涨期权作废，你保留股票，价值 $S_T$。

所以：
\[
V_T(\Phi_1) = \min(S_T, X)
\]

\subsection{投资组合 $\Phi_2 = X e^{-r(T-t)} - p_t$ 的含义}

这个组合表示：
存入一笔金额为 $X e^{-r(T-t)}$ 的无风险资产（如银行存款或国债），这笔投资在 $T$ 时刻将增长为 $X$，
同时卖出（写空）一份欧式看跌期权（获得权利金 $p_t$）。

{\color{red}
因此，$\Phi_2$ 是一个“有担保的看跌期权空头”（Cash-Secured Put）的现值。
}

在到期日 $T$，该组合的价值为：
(1) 若 $S_T < X$：看跌期权被行权，你必须以价格 $X$ 买入股票，支出 $X$，但你账户中有 $X$，刚好用于支付，你获得股票。组合价值为 $S_T$（因为你现在持有价值 $S_T$ 的股票）。
(2) 若 $S_T \geq X$：看跌期权作废，你保留现金 $X$。

所以：
\[
V_T(\Phi_2) = \min(S_T, X)
\]

\subsection{证明结论}

两个组合在到期日 $T$ 的价值均为 $\min(S_T, X)$，即：
\[
V_T(\Phi_1) = V_T(\Phi_2) = \min(S_T, X)
\]

根据无套利原则，如果两个投资组合在到期日具有完全相同的现金流，那么在任意时刻 $t < T$，它们的价值也必须相等：
\[
S_t - c_t = X e^{-r(T-t)} - p_t
\]

移项即得欧式期权平价公式：
\[
c_t + X e^{-r(T-t)} = p_t + S_t
\]

这表明，一个备兑看涨组合（$\Phi_1$）与一个有担保的看跌期权空头组合（$\Phi_2$）在无套利市场中必须具有相同的价值。


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\section{备兑看涨期权组合(Covered Call)}

询问：为什么第一个组合里，股票$S$前面是正号，卖出欧式看涨期权获得权利金$C$的前面是负号？


回答：这是一个非常好的问题，它触及了金融建模中``投资组合价值计算''的核心逻辑。

\subsection{投资组合的资产前面的正负号的含义}

{\color{red}在构造投资组合 $\Phi_1 = S_t - c_t$ 时，符号的正负表示你对相应资产的``持有方向''（头寸）。}


1. $ +S_t $：买入并持有一股股票。

正号（$+S_t$）表示你拥有（多头）这份资产。
你需要支付 $S_t$ 元来购买这股股票，因此在你的投资组合中，它是一项资产，价值为正。
举例：如果你现在花 100 元买一股股票，你在组合中就“记入” $+100$ 元的资产。

2. $ -c_t $：卖出（写空）一份看涨期权。

负号（$-c_t$）表示你卖出了这个期权，即你承担了作为期权卖方的义务。

(1) 当你卖出看涨期权时，你会立即收到买方支付的权利金 $c_t$。这笔钱是你的收入，是现金流入。

(2) 但在投资组合的记账中，我们关注的是你承担的金融头寸。卖出期权意味着你欠市场一个期权合约。为了表示这个“负债”或“空头头寸”，我们在组合中用 $-c_t$ 表示。
(3) 换句话说，$-c_t$ 表示你做空了一份价值为 $c_t$ 的看涨期权。

关键理解：虽然你收到了现金（$+c_t$ 现金），但在构建投资组合 $\Phi_1$ 时，我们通常将收到的权利金视为对期权头寸的抵消。标准做法是：
买入资产: $+\text{价格}$; 卖出资产: $-\text{价格}$. 


\subsection{举个例子说明第一个组合的初始成本}

假设：
股票价格 $S_t = 100$
看涨期权价格 $c_t = 5$

构造组合 $\Phi_1 = S_t - c_t = 100 - 5 = 95$

这表示：
你花 100 元买了股票（现金流出 100 元），
你卖出看涨期权，收到 5 元权利金（现金流入 5 元），
所以你净支出为 95 元。

因此，这个组合的初始价值（或构建成本）是 95 元，即 $\Phi_1 = 95$。


\subsection{总结}

$+S_t$：你持有股票（多头），是资产。
$-c_t$：你卖出了看涨期权（空头），是负债或义务，用负号表示。

这种记法符合金融工程中线性组合的标准：  

组合价值 = $\sum (\text{头寸方向}) \times (\text{资产价格})$

所以 $\Phi_1 = +1 \cdot S_t + (-1) \cdot c_t = S_t - c_t$ 是完全正确的。




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\section{有担保的看跌期权空头(Cash-Secured Put)}

询问：请再解释一下第二个组合里，为什么无风险资产$Xe^{-rT}$前面是正号，卖出一份欧式看跌期权获得权利金$P$的前面是负号。

回答：当然可以。我们来详细解释第二个投资组合 $\Phi_2 = X e^{-rT} - p_t$ 中各项符号的含义。

\subsection{投资组合的资产前面的正负号的含义}

投资组合 $\Phi_2 = X e^{-rT} - p_t$

这个组合包含两个部分：

1. $ + X e^{-rT} $：买入（投资）无风险资产

正号（$+$）表示你持有（多头）这份资产。

$X e^{-rT}$ 是未来到期时将获得 $X$ 元的零息债券的当前价值（现值）。

例如，你想在 $T$ 时刻有 $X = 100$ 元，年利率为 $r$，那么你现在需要存入银行或购买债券的金额就是 $100 \cdot e^{-rT}$。

你为此支付了 $X e^{-rT}$ 元现金，这笔投资在未来会增长为 $X$ 元。

所以它是一项资产，在组合中记为 正数。

类比：就像你把钱存进银行，这笔存款是你资产的一部分。


2. $ - p_t $：卖出（写空）一份欧式看跌期权

负号（$-$）表示你卖出了这个期权，即你作为期权的卖方承担了义务。

(1) 当你卖出看跌期权时，买方支付给你权利金 $p_t$，这是你的现金流入。

(2) 但在投资组合的价值计算中，我们关注的是你所持有的{\color{red}金融头寸}。
卖出期权意味着你“欠”市场一个期权合约，这是一种负债或空头头寸。

因此，我们用 $-p_t$ 来表示你做空了一份价值为 $p_t$ 的看跌期权。

关键理解：虽然你收到了 $p_t$ 的现金，但你承担了未来可能被行权的义务（必须以价格 $X$ 买入股票），这是一种潜在的负债，所以在组合中记为负。


\subsection{举个例子说明第二个组合的初始成本}

假设：
执行价格 $X = 100$, 
利率 $r = 5\%$, 
$T = 1$ 年, 
则 $e^{-rT} \approx 0.9512$. 
所以 $X e^{-rT} = 100 \times 0.9512 = 95.12$, 
看跌期权价格 $p_t = 3$. 

则：
\[
\Phi_2 = X e^{-rT} - p_t = 95.12 - 3 = 92.12.
\]

这表示：
你花了 95.12 元购买一张将在1年后价值100元的债券（资产），
你卖出看跌期权，收到 3 元权利金（现金流入），
所以你净支出为 92.12 元。

因此，$\Phi_2$ 的初始价值是 92.12 元。


\subsection{总结}

$+ X e^{-rT}$：你投资了无风险资产，是资产，记为正。
$- p_t$：你卖出了看跌期权，承担了义务，是空头头寸，记为负。

这种记法保证了投资组合的价值反映了你为构建它所付出的净成本，并符合无套利分析中对头寸方向的统一处理方式。



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\section{什么是金融头寸(Position)}

在金融领域，{\color{red}头寸（Position）}是指投资者或交易员在某一特定资产、证券或金融工具上所持有的净持有量或风险敞口。它反映了市场参与者在某项资产上的投资方向和规模。

%1
\subsection{基本分类}

头寸通常分为两类：

1. {\color{red}多头头寸(Long Position)}
    \begin{itemize}
        \item 指投资者买入并持有某项资产，预期其价格将上涨。
        \item 例如：花 100 元买入一股股票，即持有一股的多头头寸。若股价上涨至 120 元，可卖出获利 20 元。
        \item 多头的潜在收益理论上无限，最大损失为初始投资。
    \end{itemize}

2. {\color{red}空头头寸(Short Position)}
    \begin{itemize}
        \item 指投资者卖出并不属于自己的资产，预期其价格将下跌，未来以更低价格买回归还，从中赚取差价。
        \item 例如：借入一股股票并以 100 元卖出（获得 100 元现金），若股价跌至 80 元，再花 80 元买回股票归还，获利 20 元。
        \item 空头的潜在损失理论上无限（价格可无限上涨），最大收益为初始卖出价。
    \end{itemize}

%2
\subsection{头寸的表示与计算}

在构建投资组合时，头寸用代数符号表示：
\[
\text{头寸价值} = (\text{数量}) \times (\text{方向}) \times (\text{单价})
\]

多头：方向为 $+1$; 空头：方向为 $-1$.

例如：
买入 2 股股票，每股 50 元：头寸价值 = $+2 \times 50 = +100$

卖出（做空）1 份看涨期权，权利金 5 元：头寸价值 = $-1 \times 5 = -5$

%3
\subsection{头寸的作用}

1. 风险管理：通过监控头寸大小和方向，控制整体风险敞口。
    
2. 策略执行：头寸是投资策略（如套利、对冲、投机）的具体体现。
    
3. 组合构建：投资组合的价值是所有头寸价值的代数和。

%4
\subsection{示例}

假设你：
买入 1 股股票（$S = 100$）; 
卖出 1 份看涨期权（$c = 5$）.
则你的总头寸价值为：
\[
\Phi = +S - c = 100 - 5 = 95. 
\]
这表示你持有一个“备兑看涨”（Covered Call）策略的净头寸。

%5
\subsection{总结}

金融头寸是描述你在某一资产上“持有多头还是空头、持有多少”的基本单位。它是进行交易、风险管理、组合分析和衍生品定价的基础概念。

\end{document}

